中心极限定理是什么

中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论和统计学中的一条重要定理，它描述了当进行大量独立随机变量的加权平均时，其极限分布接近于一个正态分布。

具体地说，中心极限定理指出，如果我们进行大量独立随机变量的加权平均，那么当这些随机变量的总体服从一定概率分布时，这个加权平均值的分布接近于一个正态分布，而不管原始随机变量的分布形状如何。

假设我们有一组独立同分布的随机变量X₁， X₂， ...， Xₙ，它们的期望为μ，方差为σ²。根据中心极限定理，当n足够大时，这些随机变量的加权平均值（即样本均值）Sₙ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n，其近似服从于正态分布，即Sₙ的分布接近于均值为μ、方差为σ²/n的正态分布。

中心极限定理的重要性在于，它将各种概率分布下的随机变量的和或均值的极限分布近似为正态分布。这在实际应用中非常实用，因为正态分布具有许多重要的性质，例如对称性和可计算的概率密度函数。

中心极限定理的适用范围非常广泛。它在统计学中的各个领域都得到了广泛的应用，如假设检验、置信区间估计、回归分析等。由于该定理不依赖于总体分布的特定形式和参数，因此当满足独立性和相同分布的假设时，我们可以准确估计样本平均值和总体参数。

总之，中心极限定理是概率论与统计学中一条重要的定理，它通过将大量独立随机变量的加权平均值近似为正态分布，为统计分析提供了重要的理论基础。在实际应用中，我们可以通过中心极限定理来推断总体的分布特征和估计总体参数，从而对随机现象进行更准确的描述和预测。